«Постоянно расширяющаяся числовая система»
Мы склонны думать о числах как о чём-то раз и навсегда зафиксированном и неизменном — как о свойстве природы. На самом деле числа хоть и человеческое изобретение, но очень полезное, потому что они помогают нам описать и представить различные стороны окружающего мира. К примеру, сколько в вашей отаре овец или каков возраст Вселенной.
Природа раз за разом удивляет нас, ставя всё новые вопросы, ответы на которые иногда требуют разработки новых математических концепций. Иногда внутренние потребности математики дают учёным подсказку для новых открытий. Время от времени эти потребности и внешние задачи приводят математиков к расширению числовой системы и изобретению новых разновидностей чисел.
Первые числа появились как метод счёта всевозможных вещей. Например, в Древней Греции поначалу список чисел выглядел как 2, 3, 4 и так далее; единица была особым понятием и не считалась «настоящим» числом. Позже, когда такое представление о числах начало казаться очень уж глупым, единицу тоже стали считать числом.
Следующим серьёзным шагом вперёд в расширении числовой системы стало введение дробей. Это очень полезная штука, если вам нужно разделить некий товар на несколько человек. Если три человека получат равные доли от двух мешков зерна, каждый из них получит по 2⁄3 мешка.
Древние египтяне представляли дроби тремя разными способами. У них имелись специальные иероглифы для 2⁄3 и 3⁄4. Кроме того, они использовали отдельные части уаджета, или ока Ра, для обозначения единицы, делённой на первые шесть степеней двойки. Наконец, они придумали записывать дробь как «единицу над чем-то»: 1⁄2, 1⁄3, 1⁄4, 1⁄5 и так далее. Все остальные дроби они выражали как сумму различных долей единицы. К примеру, 2⁄3 = 1⁄2 + 1⁄6.
Неясно, почему они не записывали 2⁄3 как 1⁄3 + 1⁄3, но факт остаётся фактом: они это не делали.
Число нуль появилось намного позже, вероятно, потому, что особой нужды в нём не было. Если у тебя вообще нет овец, их не нужно считать или переписывать. Нуль сначала был введён как символ, обозначение и не считался числом как таковым. Но когда китайские и индийские математики ввели отрицательные числа, 0 тоже пришлось считать числом. К примеру, 1 + (–1) = 0, а сумма двух чисел, очевидно, тоже должна считаться числом.
Математики называют ряд чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … натуральными числами. Если добавить сюда же отрицательные числа, получатся целые …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …
Дроби, нуль и отрицательные дроби образуют рациональные числа.
Число является положительным, если оно больше нуля, и отрицательным, если оно меньше нуля. Таким образом, любое число (будь то целое или рациональное) обязательно попадает в одну из трёх категорий: оно либо положительное, либо отрицательное, либо нуль. Числа, используемые при подсчётё 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, — это положительные целые. Такая договорённость привела к возникновению одного достаточно неуклюжего термина: натуральные числа, то есть целые числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, часто называют неотрицательными целыми числами. Извините, так получилось*.
* В русской математической традиции натуральными числами называют лишь 1, 2, 3,…, не относя к ним нуль. — Прим. пер.
Долгое время дроби были вершиной раздела математики, описывающего числа. Но древние греки доказали, что нет такой дроби, квадрат которой в точности равен 2. Позже это утверждение было сформулировано как «число √2 иррационально», то есть не является рациональным. Греки пользовались более неуклюжим выражением для обозначения того же самого, но они уже знали, что число √2 должно существовать: согласно теореме Пифагора, это длина диагонали квадрата со стороной 1. Так что потребовались дополнительные числа: рациональные уже не справлялись. Греки нашли сложный геометрический метод работы с иррациональными числами, но он не удовлетворял всех потребностей.
Следующий шаг к современной концепции числа стал возможен после изобретения десятичной запятой (или точки) и вообще десятичной записи числа. При этом появилась возможность представления иррациональных чисел с очень высокой точностью. К примеру, √2 ≈ 1,4142135623 верно до десяти знаков после запятой (здесь и в других местах символ ≈ означает «приближённо равно»). Это выражение неточно; квадрат приведённого числа на самом деле равен 1,99999999979325598129.
Вот несколько лучшая аппроксимация, верная до двадцати знаков после запятой: √2 ≈ 1,41421356237309504880.
Впрочем, она тоже неточна. Однако в некотором строго логическом смысле бесконечно длинный ряд десятичных знаков всё же точен. Разумеется, записывать такие выражения полностью невозможно, но можно обозначить некоторые условия, при которых они имеют смысл.
Бесконечные десятичные дроби (включая, кстати говоря, и конечные, которые можно интерпретировать как дроби, заканчивающиеся бесконечным числом нулей) называются действительными (или вещественными) числами, отчасти потому, что они непосредственно соответствуют измерениям в реальном мире: длинам, весам и другим величинам.
Чем точнее измерение, тем больше десятичных знаков потребуется для его записи; чтобы записать точную величину, их потребуется бесконечное количество. Как ни странно, именно вещественные числа представлены как бесконечные дроби, которые полностью записать попросту невозможно. Допускаются также и отрицательные вещественные числа.
До XVIII века никакие другие математические концепции не считались настоящими числами. Однако уже в XV веке некоторые математики задавались вопросом о возможном существовании ещё одного типа числа: квадратного корня из минус единицы, то есть числа, которое при умножении на самого себя даёт –1. На первый взгляд это безумная идея, поскольку квадрат любого действительного числа положителен или равен нулю. Однако оказывается, что имеет смысл проявить настойчивость и снабдить число –1 квадратным корнем, для обозначения которого Леонард Эйлер ввёл символ i. Это первая буква слова «воображаемый» (imaginär по-немецки, imaginarius на латинском, imaginary в английском языке); число получило такое называние, чтобы отличаться от старых добрых действительных чисел. К несчастью, это вызвало к жизни много ненужного мистицизма — Готфрид Лейбниц напустил тумана и скрыл ключевой факт, назвав i «чем-то средним между существующим и несуществующим». А именно: и действительные, и «воображаемые» числа имеют в точности одинаковый логический статус. То и другое — человеческие концепции, помогающие моделировать реальность, но сами они нереальны.
Существование числа i вынуждает нас ввести множество других новых чисел, без которых невозможно совершать арифметические действия; речь идёт о числах вида 2 + 3i. Они называются комплексными числами, без которых математика не в состоянии обходиться уже несколько столетий. Этот забавный, но истинный факт может оказаться новостью для большей части рода человеческого, потому что в школьной математике комплексные числа встречаются редко. Не потому, что они не важны, а потому что связанные с ними идеи слишком сложны и применение их не просто.
Для обозначения основных числовых систем математики пользуются особыми значками. Я не буду дальше их использовать, но вам, вероятно, стоит один раз на них посмотреть:
N = множество всех натуральных чисел 0, 1, 2, 3, …;
Z = множество всех целых чисел …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …;
Q = множество всех рациональных чисел;
R = множество всех действительных чисел;
C = множество всех комплексных чисел.
Эти системы вкладываются одна в другую, как матрёшки: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, где символ ⊂ из теории множеств означает «содержится в». Обратите внимание: каждое целое число, к примеру, является также рациональным; так, целое число 3 есть также дробь 3⁄1. Обычно мы так не пишем, но, в принципе, оба варианта записи обозначают одно и то же число. Аналогично, каждое рациональное число также является действительным, а каждое действительное — комплексным. Новые числовые системы включают в себя более старые, а не заменяют их.
Но даже комплексные числа — не предел расширения числовой системы, которым математики занимались на протяжении столетий. Существуют, например, кватернионы H и октонионы O. Однако их уже удобнее рассматривать в рамках алгебры, а не арифметики. Поэтому я закончу упоминанием ещё более парадоксального числа — бесконечности. С философской точки зрения бесконечность отличается от традиционных чисел и не принадлежит ни к одной из стандартных числовых систем, начиная от натуральных чисел и заканчивая комплексными. Тем не менее она долгое время болталась где-то с краю, похожая на число, но всё же не число как таковое. Болталась до тех пор, пока Георг Кантор не вернулся к точке старта — к счёту — и не показал, во-первых, что бесконечность — всё же число в смысле возможности счёта, а во-вторых, что существуют бесконечности разных размеров. Среди них можно назвать ℵ0 — количество натуральных чисел и c — количество вещественных чисел, которое больше. Насколько больше, дело тёмное: это зависит от того, какую систему аксиом использовать для формализации математики.
Но оставим это до того момента, пока не наработаем достаточное чутьё на привычных числах.
